0325 Report2

2010. 3. 25. 15:06

0325 Report2 울산대 생화공 2학년/수치해석2010. 3. 25. 15:06

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4.2	4.4	4.8	4.12 (c)	4.12(d)

4.2

4.4

4.8

4.12 (c)

4.12(d)

4.2

cosx의 Maclaurin 급수는 다음과 같이 주어진다.

$f(x) \risingdotseq \cos x = 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\cdots$

가장 간단한 형태인 cosx=1로부터 시작하여 항들을 추가해 가면서 cos(π/3)의 값을 구하라. 각각의 항이 추가될 때마다, 참백분율 상대오차 및 근사 백분율 상대오차를 계산하라. 휴대용 계산기를 사용하여 참값을 구하라. 근사오차 추정값의 절대값이, 2자리 유효숫자를 만족하는 오차의 판정기준 이하로 줄어들 때 까지 필요한 항을 계속 추가하라.

sol)

참백분율 상대오차 공식 $\epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%$

근사 백분율 상대오차 공식 $\epsilon_t=\frac{current\ approximation-previous\ approximation}{current\ approximation}\times100\%$

에 근거해서 Maclaurin의 항을 하나씩 추가해가며 백분율 상대오차를 계산해 보자.

마지막 항	$f(\frac{\pi}{3})$	근사오차, 참값-근사값: cos(π/3)-f(π/3)	$\lvert\epsilon_t\rvert$	$\lvert\epsilon_a\rvert$
1	1	$-\frac12$	100%
$-\frac{x^2}{2}$	0.451688644	0.0483113560	9.66%	121%
$+\frac{x^4}{4!}$	0.501796201	-0.001796201	0.359%	9.98%
$-\frac{x^6}{6!}$	0.499964565	0.000035435	0.00709%	0.366%
$+\frac{x^8}{8!}$	0.500000433	-0.000000433	0.0000866%	0.00709%

4.4

다음과 같은 함수에서 f(3)를 계산하기 위해, x=1을 기준점으로 하여, 0차부터 3차까지의 Taylor 급수 전개를 사용하라. 참백분율 상대오차 $\epsilon_t$ 를 구하라.

sol)

Taylor 전개식은 이렇다

$f(x_{i+1})=f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+\frac{f"(x_i)}{2!}(x_{i+1}-x_i)^2+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}(x_{i+1}-x_i)^3+$

$\cdots+\frac{f^{(n)}(x_i)}{n!}(x_{i+1}-x_i)^n+R_n$

$R_{n}=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x_{i+1}-x_{i})^{n+1}$

n차 근사는 테일러의 n차 도함수까지 근사한다는 의미이다.

0차 근사의 경우 원래의 함수 f(xi)만을 사용하여 f(xi+1)=f(xi)이다.

이 문제의 식은 3차 다항식이므로 3차 근사까지만 존재한다.(4차 근사의 경우 미분을 4번해버림으로 나머지들은 모두 0이된다.)

$x_{i+1}=3, x_i=$ 이므로, $(x_{i+1}-x_i)=2$ 이다.

ⅰ)0차 근사

$f(x_{i+1})=f(x_i)$

이다.

ⅱ)1차 근사

$\because f'(x)=75x^2-12x+7$ ,

$f(3)=-12+12\times70=78$

ⅲ)2차 근사

$f(3)=f(1)=f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2$

$\because f^(2)(x)=150x-12$ , f^(2)(1)=150(1)-12=138

$f(3)=-62+140+\frac{138}{2!}(2)^2=354$

ⅳ)3차 근사

$f(3)=f'(1)+f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(2)^3$

$f(3)=-62+140+276+\frac{150}{6}\times8=554$

이제 $\epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%$ 를 사용하여 $\epsilon_t$ 값을 구하자

	참값	근사값	$\epsilon_t$
0차 근사	544	-62	111%
1차 근사	544	78	85.7%
2차 근사	544	354	36.8%
3차 근사	544	544	0%

4.8

낙하산병의 속도는 다음과 같이 주어졌다[식 (1.10)].

$v(t)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t})$

g = 9.8, m=50, t = 6, c = 12.5 +-1.5일 때, t = 6에서 1차 오차 해석으로 속도의 추정 오차값을 구하도록 하라.

sol)

이 속도v 함수는 t=6으로 고정시키고 항력계수c를 독립변수로 보고 푼다.

함수의 추정오차 $\Delta f(\widetilde{c})=\left | f(c)-f(\widetilde{c}) \right |$
c에 대한 오차 추정의값 $\Delta \widetilde{c}=\left | c-\widetilde{c} \right |$

$v(c)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t})$

$v(c)=\frac{9.8\times50}c(1-e^{-(c/50)6})$

$v(c)=\frac{490}c(1-e^{-0.12c})$

$\frac{dv}{dc}=490\times -\frac1{c^2} \times(1-e^{-0.12c})+490\times \frac1c\times 0.12e^{-0.12c}$

$\Delta v(\widetilde{c})\cong f'(12.5)(1.5)=1.387$

v(12.5)=30.45329772이므로

$v(12.5)=30.453\pm 1.387$

4.12

각각의 경우에 조건수를 계산하고 그 결과를 해석하라.

sol)

(c)

$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ $for\ x=$

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1$

$condition\ number=$

x=300에서

$condition\ number=$

$=\frac{300\times(\frac{300}{\sqrt{300^2+1}}-1)}{\sqrt{300^2+1}-300}$

=-0.999994420

음수지만 절대값은 약 1이다.

1은 상대오차간의 비율이 같다는 의미이고, 음수는 반대로 진행되었다는 뜻이다.

(e)

$f(x)=\frac{sin\ x}{1+cos\ x}$ $for\ x=$

$f'(x)=\frac{1}{(1+cos\ x)}$

x=1.0001 $\pi$ 에서

$condition\ number = \frac{1.0001\pi f'(1.0001\pi)}{f(1.0001\pi)}$

57.325으로 1보다 상당히 크므로 이 함수는 불량조건을 갖는다.

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Posted by 아빠늑대

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