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2010.03.23 02 Report - 11 예비

2010. 3. 25. 15:06

0325 Report2 울산대 생화공 2학년/수치해석2010. 3. 25. 15:06

문제 목록

4.2	4.4	4.8	4.12 (c)	4.12(d)

4.2

4.4

4.8

4.12 (c)

4.12(d)

4.2

cosx의 Maclaurin 급수는 다음과 같이 주어진다.

$f(x) \risingdotseq \cos x = 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\cdots$

가장 간단한 형태인 cosx=1로부터 시작하여 항들을 추가해 가면서 cos(π/3)의 값을 구하라. 각각의 항이 추가될 때마다, 참백분율 상대오차 및 근사 백분율 상대오차를 계산하라. 휴대용 계산기를 사용하여 참값을 구하라. 근사오차 추정값의 절대값이, 2자리 유효숫자를 만족하는 오차의 판정기준 이하로 줄어들 때 까지 필요한 항을 계속 추가하라.

sol)

참백분율 상대오차 공식 $\epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%$

근사 백분율 상대오차 공식 $\epsilon_t=\frac{current\ approximation-previous\ approximation}{current\ approximation}\times100\%$

에 근거해서 Maclaurin의 항을 하나씩 추가해가며 백분율 상대오차를 계산해 보자.

마지막 항	$f(\frac{\pi}{3})$	근사오차, 참값-근사값: cos(π/3)-f(π/3)	$\lvert\epsilon_t\rvert$	$\lvert\epsilon_a\rvert$
1	1	$-\frac12$	100%
$-\frac{x^2}{2}$	0.451688644	0.0483113560	9.66%	121%
$+\frac{x^4}{4!}$	0.501796201	-0.001796201	0.359%	9.98%
$-\frac{x^6}{6!}$	0.499964565	0.000035435	0.00709%	0.366%
$+\frac{x^8}{8!}$	0.500000433	-0.000000433	0.0000866%	0.00709%

4.4

다음과 같은 함수에서 f(3)를 계산하기 위해, x=1을 기준점으로 하여, 0차부터 3차까지의 Taylor 급수 전개를 사용하라. 참백분율 상대오차 $\epsilon_t$ 를 구하라.

sol)

Taylor 전개식은 이렇다

$f(x_{i+1})=f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+\frac{f"(x_i)}{2!}(x_{i+1}-x_i)^2+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}(x_{i+1}-x_i)^3+$

$\cdots+\frac{f^{(n)}(x_i)}{n!}(x_{i+1}-x_i)^n+R_n$

$R_{n}=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x_{i+1}-x_{i})^{n+1}$

n차 근사는 테일러의 n차 도함수까지 근사한다는 의미이다.

0차 근사의 경우 원래의 함수 f(xi)만을 사용하여 f(xi+1)=f(xi)이다.

이 문제의 식은 3차 다항식이므로 3차 근사까지만 존재한다.(4차 근사의 경우 미분을 4번해버림으로 나머지들은 모두 0이된다.)

$x_{i+1}=3, x_i=$ 이므로, $(x_{i+1}-x_i)=2$ 이다.

ⅰ)0차 근사

$f(x_{i+1})=f(x_i)$

이다.

ⅱ)1차 근사

$\because f'(x)=75x^2-12x+7$ ,

$f(3)=-12+12\times70=78$

ⅲ)2차 근사

$f(3)=f(1)=f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2$

$\because f^(2)(x)=150x-12$ , f^(2)(1)=150(1)-12=138

$f(3)=-62+140+\frac{138}{2!}(2)^2=354$

ⅳ)3차 근사

$f(3)=f'(1)+f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(2)^3$

$f(3)=-62+140+276+\frac{150}{6}\times8=554$

이제 $\epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%$ 를 사용하여 $\epsilon_t$ 값을 구하자

	참값	근사값	$\epsilon_t$
0차 근사	544	-62	111%
1차 근사	544	78	85.7%
2차 근사	544	354	36.8%
3차 근사	544	544	0%

4.8

낙하산병의 속도는 다음과 같이 주어졌다[식 (1.10)].

$v(t)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t})$

g = 9.8, m=50, t = 6, c = 12.5 +-1.5일 때, t = 6에서 1차 오차 해석으로 속도의 추정 오차값을 구하도록 하라.

sol)

이 속도v 함수는 t=6으로 고정시키고 항력계수c를 독립변수로 보고 푼다.

함수의 추정오차 $\Delta f(\widetilde{c})=\left | f(c)-f(\widetilde{c}) \right |$
c에 대한 오차 추정의값 $\Delta \widetilde{c}=\left | c-\widetilde{c} \right |$

$v(c)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t})$

$v(c)=\frac{9.8\times50}c(1-e^{-(c/50)6})$

$v(c)=\frac{490}c(1-e^{-0.12c})$

$\frac{dv}{dc}=490\times -\frac1{c^2} \times(1-e^{-0.12c})+490\times \frac1c\times 0.12e^{-0.12c}$

$\Delta v(\widetilde{c})\cong f'(12.5)(1.5)=1.387$

v(12.5)=30.45329772이므로

$v(12.5)=30.453\pm 1.387$

4.12

각각의 경우에 조건수를 계산하고 그 결과를 해석하라.

sol)

(c)

$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ $for\ x=$

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1$

$condition\ number=$

x=300에서

$condition\ number=$

$=\frac{300\times(\frac{300}{\sqrt{300^2+1}}-1)}{\sqrt{300^2+1}-300}$

=-0.999994420

음수지만 절대값은 약 1이다.

1은 상대오차간의 비율이 같다는 의미이고, 음수는 반대로 진행되었다는 뜻이다.

(e)

$f(x)=\frac{sin\ x}{1+cos\ x}$ $for\ x=$

$f'(x)=\frac{1}{(1+cos\ x)}$

x=1.0001 $\pi$ 에서

$condition\ number = \frac{1.0001\pi f'(1.0001\pi)}{f(1.0001\pi)}$

57.325으로 1보다 상당히 크므로 이 함수는 불량조건을 갖는다.

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by 아빠늑대

2010. 3. 23. 22:01

0323 Lecture1 울산대 생화공 2학년/화학공정계산2010. 3. 23. 22:01

원료유는 벤젠과 톨루엔이 각각 30%, 70% mol%씩 함유되어 있고 총 유량은 시간당 100kmol씩 공급된다. 또한 원료의 온도는 80℉이며, 원료의 압력은 20psi이다. Flash drum 운전압력은 학번 끝 두자리psi이다(예 학번 20082134 = 34psi). 이때 bubble point temperature및 dew point temporature는 얼마인가?(Ideal)

V-DRUM1 설치
Equipment Model Library에서 'Separators'의 'V-DRUM1'을 선택하여 흰색의 바탕을 클릭해 설치합니다.
Material Stream 활성화
'Stream Library'를 클릭해 Material Stream를 활성화 시킵니다.

활성화 된다면 설치해준 V-DRUM1에 4가지 입출구가 생깁니다. 화살표로 빨강 3개 파랑 1개가 생깁니다
왼쪽 빨간 화살표는 원료가 드럼으로 들어오는 입구이고
윗쪽 빨간 화살표는 드럼에서 빠져나가는 기체
밑쪽 빨간 화살표는 드럼에서 빠져나가는 액체
밑쪽 파란 화살표는 드럼에서 가수분해와 같이 물이 생기는 반응에서 물을 빼주는 역할을 합니다.
Stream 연결
B1 왼쪽편 백지를 (클릭!)해주신뒤에 왼쪽 빨간 화살표 (클릭!)

하시면 이렇게 됩니다.

나머지 2개의 화살표는 반대로 화살표 (클릭!) 하신뒤 백지를 (클릭!)하셔서 이렇게 만듭니다.

이번 반응은 물이 나오는 반응이 아니라 파란색 화살표는 건드리지 않습니다.
넣어주는 원료 변수값 입력
변수를 넣으러 'Toolbar Feature'의 'Setup'을 (클릭!)

이런 화면이 등장 합니다. Title에는 'FLASH' 명명 하고, 나머지는 기본 설정을 사용합니다. 다 입력 됬으면 'N->'모양의 'Next'를 (클릭!)

다음에는 이런 화면이 뜹니다.

넣어줄 물질인 BENZENE과 TOLUENE을 'Component ID'에 입력하고 (엔터!)하시면 밑에 처럼 됩니다. Next~

다음엔 이런 화면이 뜨는데

Property method에서 이 문제에서 사용할 식인 Ideal을 선택해주고 Next~

무조건 어깨이~ 어깨이~

이제 이런 화면이 뜹니다.

문제에서 주어진 대로 수치를 입력합니다.

Ibmol/hr단위로 설정되어 있는데 Kmol/hr로! 주의! 주의! Next~

(참고)'Composition'을 'Mole-Frac'을 쓰게 된다면 30->0.3 70->0.7 로 바꿔주세요.
드럼 내부의 조건 변수값 입력
Next를 (클릭!)하면 이제 드럼 내부의 변수를 입력하는 화면이 뜹니다. 문제에서는 bubble point temperature와 dew point temperature를 구하라고 했으니
bubble point temperature을 구할 때는 Vapor fraction을 0으로 입력하고,
dew point temperature을 구할 때는 Vapor fraction을 1로 입력합니다.

제 학번은 20092377이니 압력을 77psi로 줍니다. 이제 Next~

무조건 어깨이~ 어깨이~

무슨 계산을 하고 있는 것 같네

완료~ 이제 결과를 보기 위해 네모(check results)를 눌러줍니다.

이런 화면이 뜨는데 결과를 한눈에 볼 수 있도록 되 있습니다. 네모(stream) (클릭!)

이제 분석을 해보면 모든 원료가 액체 배출의 stream3을 통해 모두 나갔다. 이때 bubble point temperature은 334.2 임을 알 수 있습니다.

이제 dew point temporature을 구하러 가야되는데 이전까지 해왔던 조건들을 그대로 쓰면서 드럼통의 Vapor pressure을 1로 설정만 바꿔서 다시 실험하기 위해 네모(Blocks) (클릭!)

이런 화면이 뜨는데 네모(B1) (클릭!)

Vapor pressure을 '1'을 입력하고 다시 Next

아까와 같은 경로로 결과를 보면
dew point temperature은 343.4K네요.
이상한 그래프(제목이 있었는데 까묵...)
이거 볼 줄 알아야되는 것 같더라구요.
[manu]-Tools-Analysis-Property-Binary를 선택합니다.

어깨이~ 어깨이~

이런 화면이 뜹니다.

Analysis type을 Txy로 맞추면

List of values 가 14.69595가 됩니다(?) 네모(Go) (클릭!)

이런 그래프가 생성 되는데 원본을 그대로 붙이면 그림이 너무 커서 넣질 못하고
대신 작게 했는데 글씨가 다 깨지네요. x축은 벤젠의 몰분율이고, y축은 온도(T)입니다.
파란색 아랫 부분은 액체 상태고 초록색 윗 부분은 기체상태라던데...
이 두 곡선은 dew point와 bubble point를 표현한 곡선이라고 합니다.

이번엔 'Analysis type'을 Pxy로 두고 그래프를 생성하면

x축은 벤젠의 몰분율(Mole-fraction)으로 0~1.00을
y축은 압력 입니다.
뭘 의미 하는지 아시는 분 ㅠㅜ

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by 아빠늑대

2010. 3. 23. 05:18

02 Report - 11 예비 울산대 생화공 2학년/유기화학2010. 3. 23. 05:18

표지 Cover

[11]분광기를 이용한 약산의 해리상수 예비 레포트
실험일: 2010-03-23 보고서 제출일: 2010-03-23
2학년 11조 20092377 김동구(서욱환, 이윤화)
날씨x 온도x 압력x 습도x
목적 Obgective
가시광선 분광기를 이용하여 약산성을 띠는 지시약의 해리상수를 측정한다.
요지 Summary
보다 정확한 측정값을 갖기 위해 오차가 생길 수 있는 부분을 줄인다.
온도계를 이용해 온도유지를 확인하고, 용액을 제조시 주의한다.
이론 Theory
해리상수는 전해질이 얼마나 이온화 되는가를 나타내기 위한 수치로 해리상수 Ka는 다음과 같다.

여기서 a는 이온의 활성도 C는 농도를 의미한다.
$k_a= \frac{a_{A-}a_{H+}}{a_{HA}} \simeq \frac{C_{A-}C_{H+}}{C_{HA}}$

따라서 농도가 묽을 때는 $a_i \simeq C_i$ 이다. 와 의 관계는 다음과 같다.

위 두 식은 연합해 다음과 같은 Henderson-Hasselbach식을 얻는다.
$pK_a = pH+log\frac{C_{HA}}{C_{A-}}$

는 다음 식과 같다.
$C_0 = C_{HA} + C_{A-}$

산성 용액에는 이온화 되지 않은 HA만 존재하기 때문에

$C_0 = C_{HA}$

염기성 용액에서는 모두 이온화되어 짝염A-를 형성하는 쪽으로 평형이 이동된다.
$C_0 = C_{A-}$

한편 pH9.00의 완충 용액 (pH=pKa)에서는 이온화 되지 않은 산과 이온화된 짝염이 같은 농도로 존재한다. 그런데 이 두 성분은 가시광선 영역에서 현격히 다른 흡수 스펙트럼을 갖기 때문에 이 성질을 이용하여 티몰블루의 해리상수 Ka와 pKa를 쉽게 구할 수 있다. 산성 용액에서 자주 나타나는 HA는 푸른색 파장 영역에서 빛을 흡수하여 노란색을 나타내고. 반대로 푸른색 짝염 A-는 염기성 매질에 주로 존재하여 노란색 파장 영역에서 최대 흡수파장을 나타내어 그 보색의 샐깔을 띤다.

빛의 흡광도 A는 다음과 같다.
$A = log\frac{I_0}{I}$
시약, 기구 장치 Reagents, Instruments, Apparatus
<기구>
가시광선 분광기
광학 유리로 된 큐벨 시료용기 (cuvette cell) 2개
50-mL, 1000-mL 부피플라스크
1-mL, 5-mL, 10-mL 눈금피펫
피펫필러
피펫접시
250-mL 눈금실린더
150-mL 비커
파스퇴르 피펫 다수
지름 55mm깔때기
온도계

<시약>
pH 9.00 완충 용액 1000-mL
티몰블루 분말 (thymolsulfophthalein, C27H30O5S*H2O) 5g
0.1N 염산 표준 용액 1L
0.1N NaOH 표준 용액 1L
에탄올 500mL
증류수
실험 방법 및 과정 Experimental Procedure
NaOH와 HCl을 증류수로 묽혀 1000-mL 부피 플라스크에 각 용액 제조
0.145g(3.00*10^4 mol)의 티몰블루를 200mL의 에탄올에 녹임
1000-mL 부피플라스크에 증류수로 표지선까지 희석
티몰블루 저장용액으로부터 눈금피펫을 이용하여 5mL씩 취하여 50-mL 부피플라스크에 넣음
세 개의 50-mL 부피플라스크를 준비하고 각각 NaOH(1*10^-3M), HCl(1*10^-4M), pH9.00완충용액으로 표지선까지 채움
1-cm큐벳 시료용기에 증류수를 채운 뒤 분광기 0점을 맞춤
3가지 용액 내 존재하는 3*10^-4M의 티몰블루 용액의 흡광도를 400~700nm사이에서 5nm간격으로 측정, 스펙트럼 읽음