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2010. 4. 28. 11:52

카테고리 없음2010. 4. 28. 11:52

Report 7

Heat exchanger

 

Report 7

 

 

1. 'Heat Exchangers'의 'GEN_HT'를 설치한다.

 

2. 'Rotate Right' 시킨 후 stream 설치 후 name을 다음과 같이 변경시켜준 뒤 setup에 들어간다.

3. Title을 'Heat exchanger'로 사용할 단위계를 'MET'으로 변경 후 Next

4. Components를 등록하기 위해 Find 기능을 사용하여 Ethylene glycol과 Freon-12를 등록한다.

5. Base method를 'SRK', Free-water method를 'STEAMNBS'로 변경 후 Next

6. FREON stream과 GLYCOL stream의 변수에 문제에 주어진 값 대입 후 Next
GLYCOL stream에서 학번이 20092377이므로 377을 넣음

7. 문제에서 COLD stream으로 나가는 값이 300K로 주어 졌으므로
Cold stream outlet temperature를 300을 넣어 준 뒤 Simulate 한다.

8. 문제에서 얻고자 한 값은 HOT stream의 절대 온도이므로 답은 '399.844406 K'가 된다.

Posted by 아빠늑대

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2010. 3. 25. 15:06

0325 Report2 울산대 생화공 2학년/수치해석2010. 3. 25. 15:06

 

문제 목록

4.2 4.4 4.8 4.12 (c) 4.12(d)

 


 

4.2

cosx의 Maclaurin 급수는 다음과 같이 주어진다.

f(x) \risingdotseq \cos x = 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\cdots

가장 간단한 형태인 cosx=1로부터 시작하여 항들을 추가해 가면서 cos(π/3)의 값을 구하라. 각각의 항이 추가될 때마다, 참백분율 상대오차 및 근사 백분율 상대오차를 계산하라. 휴대용 계산기를 사용하여 참값을 구하라. 근사오차 추정값의 절대값이, 2자리 유효숫자를 만족하는 오차의 판정기준 이하로 줄어들 때 까지 필요한 항을 계속 추가하라.

 

sol)

참백분율 상대오차 공식\epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%

근사 백분율 상대오차 공식 \epsilon_t=\frac{current\ approximation-previous\ approximation}{current\ approximation}\times100\%

에 근거해서 Maclaurin의 항을 하나씩 추가해가며 백분율 상대오차를 계산해 보자.

 마지막 항 f(\frac{\pi}{3}) 

근사오차,

참값-근사값:

cos(π/3)-f(π/3) 

 \lvert\epsilon_t\rvert \lvert\epsilon_a\rvert
1  1 -\frac12   100%  
-\frac{x^2}{2} 0.451688644 0.0483113560 9.66% 121%
 +\frac{x^4}{4!} 0.501796201 -0.001796201 0.359% 9.98%
 -\frac{x^6}{6!} 0.499964565 0.000035435 0.00709% 0.366%
 +\frac{x^8}{8!} 0.500000433 -0.000000433 0.0000866% 0.00709%

 

4.4

다음과 같은 함수에서 f(3)를 계산하기 위해, x=1을 기준점으로 하여, 0차부터 3차까지의 Taylor 급수 전개를 사용하라. 참백분율 상대오차\epsilon_t를 구하라.

f(x)=25x^3-6x^2+7x-88

 

sol)

Taylor 전개식은 이렇다

f(x_{i+1})=f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+\frac{f"(x_i)}{2!}(x_{i+1}-x_i)^2+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}(x_{i+1}-x_i)^3+ 

 

\cdots+\frac{f^{(n)}(x_i)}{n!}(x_{i+1}-x_i)^n+R_n 

 

 R_{n}=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x_{i+1}-x_{i})^{n+1}

 

n차 근사는 테일러의 n차 도함수까지 근사한다는 의미이다.

0차 근사의 경우 원래의 함수 f(xi)만을 사용하여 f(xi+1)=f(xi)이다.

이 문제의 식은 3차 다항식이므로 3차 근사까지만 존재한다.(4차 근사의 경우 미분을 4번해버림으로 나머지들은 모두 0이된다.)

 

x_{i+1}=3, x_i=이므로, (x_{i+1}-x_i)=2이다.

 

ⅰ)0차 근사

 

f(x_{i+1})=f(x_i)

f(3)=f(1)=25(1)^3-6(1)^2+7(1)-88=-62 

이다.

 

ⅱ)1차 근사

 

 f(3)=f(1)+2f'(1)

\because f'(x)=75x^2-12x+7  ,   f'(1)=75(1)^2-12(1)+7=70

f(3)=-12+12\times70=78 

 

ⅲ)2차 근사

 

f(3)=f(1)=f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2 

\because f^(2)(x)=150x-12   , f^(2)(1)=150(1)-12=138

 f(3)=-62+140+\frac{138}{2!}(2)^2=354

 

ⅳ)3차 근사

 

f(3)=f'(1)+f'(1)(2)+\frac{f"(1)}{2!}(2)^2+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(2)^3 

f(3)=150 

f(3)=-62+140+276+\frac{150}{6}\times8=554 

 

 

이제 \epsilon_t=\frac{true\ error}{true\ value}\times100\%를 사용하여 \epsilon_t값을 구하자

 

 참값

근사값 

\epsilon_t

 0차 근사

 544

-62

 111%

 1차 근사

 544

78

 85.7%

 2차 근사

 544

354

 36.8%

 3차 근사

 544

 544 

 0%


 

4.8

낙하산병의 속도는 다음과 같이 주어졌다[식 (1.10)].

v(t)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t}) 

g = 9.8, m=50, t = 6, c = 12.5 +-1.5일 때, t = 6에서 1차 오차 해석으로 속도의 추정 오차값을 구하도록 하라.

 

 sol)

이 속도v 함수는 t=6으로 고정시키고 항력계수c를 독립변수로 보고 푼다.

함수의 추정오차 \Delta f(\widetilde{c})=\left | f(c)-f(\widetilde{c}) \right |
c에 대한 오차 추정의값 \Delta \widetilde{c}=\left | c-\widetilde{c} \right |

 

 v(c)=\frac{gm}c(1-e^{-(c/m)t})

 v(c)=\frac{9.8\times50}c(1-e^{-(c/50)6})

v(c)=\frac{490}c(1-e^{-0.12c}) 

 \frac{dv}{dc}=490\times -\frac1{c^2} \times(1-e^{-0.12c})+490\times \frac1c\times 0.12e^{-0.12c}

 

\Delta v(\widetilde{c})\cong f'(12.5)(1.5)=1.387

 

v(12.5)=30.45329772이므로

v(12.5)=30.453\pm 1.387 

 

 


 

4.12

각각의 경우에 조건수를 계산하고 그 결과를 해석하라.

 

sol)

(c)

 f(x)=\sqrt{x^2+1}-x      for\ x=

 

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1 

 

condition\ number= 

x=300에서

 condition\ number=

                                    =\frac{300\times(\frac{300}{\sqrt{300^2+1}}-1)}{\sqrt{300^2+1}-300}

                                   =-0.999994420

 

음수지만 절대값은 약 1이다.

1은 상대오차간의 비율이 같다는 의미이고, 음수는 반대로 진행되었다는 뜻이다.

 

(e)

f(x)=\frac{sin\ x}{1+cos\ x}      for\ x=

 f'(x)=\frac{1}{(1+cos\ x)}

 

 x=1.0001\pi에서

 condition\ number = \frac{1.0001\pi f'(1.0001\pi)}{f(1.0001\pi)}

                                   =57.325

                                 

57.325으로 1보다 상당히 크므로 이 함수는 불량조건을 갖는다.

 

 

 

 

 

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'울산대 생화공 2학년 > 수치해석' 카테고리의 다른 글

0325 Report2  (1) 2010.03.25
Posted by 아빠늑대

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2010. 3. 23. 22:01

0323 Lecture1 울산대 생화공 2학년/화학공정계산2010. 3. 23. 22:01

 

원료유는 벤젠과 톨루엔이 각각 30%, 70% mol%씩 함유되어 있고 총 유량은 시간당 100kmol씩 공급된다. 또한 원료의 온도는 80℉이며, 원료의 압력은 20psi이다. Flash drum 운전압력은 학번 끝 두자리psi이다(예 학번 20082134 = 34psi). 이때 bubble point temperature및 dew point temporature는 얼마인가?(Ideal)

  1. V-DRUM1 설치
    Equipment Model Library에서 'Separators'의 'V-DRUM1'을 선택하여 흰색의 바탕을 클릭해 설치합니다. 






  2. Material Stream 활성화
    'Stream Library'를 클릭해 Material Stream를 활성화 시킵니다.


    활성화 된다면 설치해준 V-DRUM1에 4가지 입출구가 생깁니다. 화살표로 빨강 3개 파랑 1개가 생깁니다
    왼쪽 빨간 화살표는 원료가 드럼으로 들어오는 입구이고
    윗쪽 빨간 화살표는 드럼에서 빠져나가는 기체
    밑쪽 빨간 화살표는 드럼에서 빠져나가는 액체
    밑쪽 파란 화살표는 드럼에서 가수분해와 같이 물이 생기는 반응에서 물을 빼주는 역할을 합니다.


  3. Stream 연결
    B1 왼쪽편 백지를 (클릭!)해주신뒤에 왼쪽 빨간 화살표 (클릭!)

    하시면 이렇게 됩니다.

    나머지 2개의 화살표는 반대로 화살표 (클릭!) 하신뒤 백지를 (클릭!)하셔서 이렇게 만듭니다.

    이번 반응은 물이 나오는 반응이 아니라 파란색 화살표는 건드리지 않습니다.

  4. 넣어주는 원료 변수값 입력
    변수를 넣으러 'Toolbar Feature'의 'Setup'을 (클릭!)


    이런 화면이 등장 합니다. Title에는 'FLASH' 명명 하고, 나머지는 기본 설정을 사용합니다. 다 입력 됬으면 'N->'모양의 'Next'를 (클릭!)


    다음에는 이런 화면이 뜹니다.
    q.bmp 

    넣어줄 물질인 BENZENE과 TOLUENE을 'Component ID'에 입력하고 (엔터!)하시면 밑에 처럼 됩니다. Next~
    q(1).bmp 

    다음엔 이런 화면이 뜨는데
    q(2).bmp 

    Property method에서 이 문제에서 사용할 식인 Ideal을 선택해주고 Next~
    q(3).bmp 

    무조건 어깨이~ 어깨이~
    q(13).bmp 

    이제 이런 화면이 뜹니다.
    q(4).bmp 


    문제에서 주어진 대로 수치를 입력합니다.
    q(5).bmp 

    Ibmol/hr단위로 설정되어 있는데 Kmol/hr로! 주의! 주의! Next~
    q(6).bmp 

    (참고)'Composition'을 'Mole-Frac'을 쓰게 된다면 30->0.3 70->0.7 로 바꿔주세요.
    q(7).bmp q(9).bmp

  5. 드럼 내부의 조건 변수값 입력
    Next를 (클릭!)하면 이제 드럼 내부의 변수를 입력하는 화면이 뜹니다. 문제에서는 bubble point temperature와 dew point temperature를 구하라고 했으니
    bubble point temperature을 구할 때는 Vapor fraction을 0으로 입력하고,
    dew point temperature을 구할 때는 Vapor fraction을 1로 입력합니다.
    q(10).bmp 
    q(11).bmp 

    제 학번은 20092377이니 압력을 77psi로 줍니다. 이제 Next~
    q(12).bmp 

    무조건 어깨이~ 어깨이~
    q(14).bmp 

    무슨 계산을 하고 있는 것 같네
    q(15).bmp 

    완료~ 이제 결과를 보기 위해 네모(check results)를 눌러줍니다.
    q(18).bmp   

    이런 화면이 뜨는데 결과를 한눈에 볼 수 있도록 되 있습니다. 네모(stream) (클릭!)
    q(19).bmp 

    이제 분석을 해보면 모든 원료가 액체 배출의 stream3을 통해 모두 나갔다. 이때 bubble point temperature은 334.2 임을 알 수 있습니다.
     q(21).bmp


    이제 dew point temporature을 구하러 가야되는데 이전까지 해왔던 조건들을 그대로 쓰면서 드럼통의 Vapor pressure을 1로 설정만 바꿔서 다시 실험하기 위해 네모(Blocks) (클릭!)
    q(22).bmp 

    이런 화면이 뜨는데 네모(B1) (클릭!)
    q(24).bmp  

    Vapor pressure을 '1'을 입력하고 다시 Next
    q(25).bmp 

    아까와 같은 경로로 결과를 보면
    dew point temperature은 343.4K네요.
    q(26).bmp 

  6. 이상한 그래프(제목이 있었는데 까묵...)
    이거 볼 줄 알아야되는 것 같더라구요.
    [manu]-Tools-Analysis-Property-Binary를 선택합니다.
    q(27).bmp  

    어깨이~ 어깨이~
    q(29).bmp 

    이런 화면이 뜹니다.

    q(30).bmp

    Analysis type을 Txy로 맞추면
    q(31).bmp

    List of values 가 14.69595가 됩니다(?) 네모(Go) (클릭!)
    q(32).bmp 

    이런 그래프가 생성 되는데 원본을 그대로 붙이면 그림이 너무 커서 넣질 못하고
    대신 작게 했는데 글씨가 다 깨지네요. x축은 벤젠의 몰분율이고, y축은 온도(T)입니다.
    파란색 아랫 부분은 액체 상태고 초록색 윗 부분은 기체상태라던데...
    이 두 곡선은 dew point와 bubble point를 표현한 곡선이라고 합니다.
    q(34).bmp 

    이번엔 'Analysis type'을 Pxy로 두고 그래프를 생성하면
    q(35).bmp 

    x축은 벤젠의 몰분율(Mole-fraction)으로 0~1.00을
    y축은 압력 입니다.
    뭘 의미 하는지 아시는 분 ㅠㅜ
    q(36).bmp 


     


 

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Posted by 아빠늑대

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